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《九章算术》

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简介编辑本段回目录

《九章算术》《九章算术》
《九章算术》是中国古代数学专着,是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数,九数之流则《九章》是矣”,又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补,故校其目则与古或异,而所论多近语也”。可见《九章算术》上承先秦数学发展之源流,入汉之后又经许多学者的删补方才最后成书的。它的出现,标志着中国古代数学体系的形成。

《九章算术》是流传到现在中国古代最早的一部数学著作,

《九章算术》《九章算术》
《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经多人增补修订而成。

根据研究,西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期,但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种,并无《九章算术》,可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书,善《九章算术》”,马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断,现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类,就是“九章”。

1984年,在湖北出土了《算数书》书简。据考证,它比《九章算术》要早一个半世纪以上,书中有些内容和《九章算术》非常相似,一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系,但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学,许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代,《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋,《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084),这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中,最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213),现藏于上海图书馆(孤本,残,只余前五卷)。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书,并作了校勘。此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等,大多数都是以戴校本为底本的。

作为一部世界科学名着,《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜日本。现在,它已被译成日、俄、德、法等多种文字。

主要内容编辑本段回目录

《九章算术》的内容十分丰富,

《九章算术》《九章算术》
全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤,但没有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音崔cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图,今传本已只剩下正文了。

《九章算术》共收有246个数学问题,分为九章、它们的主要内容分别是:

第一章“方田”:田亩面积计算;提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式;分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。

第二章“粟米”:谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;衰分章提出比例分配法则,称为衰分术;

第三章“衰分”:比例分配问题;介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

第四章“少广”:已知面积、体积,反求其一边长和径长等;

《九章算术》勾股定理求解

第五章“商功”:土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;

第六章“均输”:合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。

第七章“盈不足”:即双设法问题;提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大。

第八章“方程”:一次方程组问题;采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n。在西方,毕达哥拉斯欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

主要特点编辑本段回目录

《九章算术》确定了中国古代数学的框架,

《九章算术》《九章算术》
以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深,以致以后中国数学着作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例着书;甚至西算传入中国之后,人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。

然而,《九章算术》亦有其不容忽视的缺点:没有任何数学概念的定义,也没有给出任何推导和证明。魏景元四年(263年),刘徽给《九章算术》作注,才大大弥补了这个缺陷。

刘徽是中国数学家之一。他的生平现在知之甚少。据考证,他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念,全面论证了《九章算术》的公式解法,提出了许多重要的思想、方法和命题,他在数学理论方面成绩斐然。

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质,基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率,把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反,要令正负以名之,摆脱了正为余,负为欠的原始观念,从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象,但相互关系不明显,显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理,把它们看作运算的纲纪。许多问题,只要找出其中的各种率关系,通过乘以散之,约以聚之,齐同以通之,都可以归结为今有术求解。

一平面(或立体)图形经过平移或旋转,其面积(或体积)不变。把一个平面(或立体)图形分解成若干部分,各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理,是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理,成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

数学成就编辑本段回目录

《九章算术》中的数学成就是多方面的。在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作。“方田”章中系统叙述了约分、通分、比较不同分母分数的大小以及分数的四则运算。通分时使用的是辗转相减法。在“粟米”、“衰分”、“均输”各章中,有着许多比例问题,在世界上也是比较早的。“盈不足”算法也是一项创造。如“人出八盈三,人出七则不足四,问人数物价各几何”这类“盈不足”问题的解法,需要给出两次假设中世纪欧洲称它为“双设法”,有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。在几何方面:主要是面积(方田)、体积(商功)计算问题。在代数方面:主要有一次方程组解法、负数概念的引入及其加减法法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。

《九章算术方程》章共18问,全都是一次方程组问题,未知数最多时可达五个。其解法,首先以竖行用算筹列出各方程的系数,如“方程”章第一题,它相当于求解:

《九章算术》《九章算术》

3x+2+=39,(1)
2x+3+=34,(2)
x+2+3=26。(3)
列出的筹式如
123
232
311
263439
[3][2][1],
竖行[1]、[2]、[3],即相当于上面的式(1)、(2)、(3)。其消元方法就是令左右行连续相减(如以3乘[2]再连续减[1]即可消去x项系数)。“程”是指“计算”、“方”是指这样列出的筹式是方形的,这才是“方程”这一数学术语的原意。《九章算术》中的这项成果,比世界其它国家和地区的同类成果要早很多年。“方程”章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则。

在《九章算术》中,开平方和开立方时所列筹式以及演算过程,其意义和求解x=、x=的数值解法是相同的。这样,在开平方的过程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出发,更开宋元时期高次方程数值解法的先声。

历史影响编辑本段回目录

现传本《九章算术》成书于何时,

 
《九章算术》刘徽
目前众说纷纭,多数认为在西汉末到东汉初之间,约公元一世纪前后,《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印,难免会出现差错和遗漏,加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解,因此历史上有过多次校正和注释。

关于对《九章算术》所做的注住要有:三国时曹魏刘徽注,唐朝李淳风注,南宋杨辉着《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类,清李潢(?~1811年)所着《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明,尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(1892~1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点,用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释。80年代以来,今人白尚恕郭书春、李继闵等都有校注本出版。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面,《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯,甚至经过这些地区远至欧洲

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻,这是世界上最早的印刷本数学书。可以说,《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。

后世影响 编辑本段回目录

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面,《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯,甚至经过这些地区远至欧洲。   《九章算术》是几代人共同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻,这是世界上最早的印刷本数学书。 [1] 

所以,《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。

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