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函数

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简介编辑本段回目录

函数定义:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f : A-->B. 当集合A,B都是非空的数的集合,且B的每一个元素都有原象时,这样的映射f:A-->B.就叫定义域A到值域B上的函数.

在初中课本中的定义是:一般的,有两个变量XY,其中一个变量Y随着另一个变量X的变化而变化,并且,给出一个X值都有唯一的一个Y值与它对应。X叫自变量,Y叫因变量。

函数函数

 在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素。
    应变量,函数一个与他量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
    函数两组元素一一对应的规则,第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函数,映射,对应,变换通常都有同一个意思。
但函数只表示数与数之间的对应关系,映射还可表示点与点之间,图形之间等的对应关系。可以说函数是一种特殊的映射。

历史编辑本段回目录

笛卡儿引入变量后,随之而来的便是函数的概念.他指出y和是变量(“未知量和未定的量”)的时候,也注意到y依赖于而变.这正是函数思想的萌芽.但是他没有使用“函数”这个词。函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,以描述曲线的一个相关量,如曲线斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础。

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究,对函数概念的教学进行一些探索。 

几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 

代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667-1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构成的量。贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子。 

18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的,一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是:一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 

对应关系下的函数

1822年傅里叶(Fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 

1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。 

等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。 

集合论下的函数

1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。 

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac-δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac-δ函数等概念统一了起来。因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展。 

正式定义 编辑本段回目录

从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f(记作 )是X与Y的关系,满足如下条件:

f是完全的:对集合X中任一元素X都有集合Y中的元素y满足xfy(x与y是f相关的)。即,对每一个输入值,y中都有且只有一个与之对应的输出值。
f是多对一的:若xfy且xfz,则y = z。即,多个输入可以映射到一个输出,但一个输入不能映射到多个输出。
定义域中任一x在对映域中唯一对应的y记为f(x)。

比上面定义更简明的表述如下:从X映射到Y的函数f是X与Y的直积X / timesY的子。X中任一x都与Y中的y唯一对应,且有序对(x,y)属于f。

X与Y的关系若满足条件(1),则为多值函数。函数都是多值函数,但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2),则为偏函数。函数都是偏函数,但偏函数不都是函数。除非特别指明,本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。 考虑如下例子:

完全,但非多对一。X中的元素3与Y中的两个元素b 和c 相关。因此这是多值函数,而不是函数。
多对一,但非完全。 X 的元素1未与Y 的任一元素相关。因此这是偏函数,而不是函数。
完全且多对一。因此这是从X到Y的函数。此函数可以表示为f ={(1, d), (2, d), (3, c)},或 F={d,if x=1;d, if x=2;d, if x=3

定义域、对映域和值域 编辑本段回目录


输入值的集合X被称为f 的定义域;可能的输出值的集合Y被称为f 的陪域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f 得到的实际输出值的集合。注意,把对映域称作值域是不正确的,函数的值域是函数的对映域的子集。

计算机科学中,参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对映域。因此定义域和对映域是函数一开始就确定的强制约束。另一方面,值域和实际的实现有关。


单射、满射与双射函数 编辑本段回目录

单射函数,将不同的变量映射到不同的值。即:若x和y属于定义域,则仅当x = y时有f(x) = f(y)。
满射函数,其值域即为其对映域。即:对映射f的对映域中之任意y,都存在至少一个x满足f(x) = y。
双射函数,既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的,即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应,则说这两个集合等势。

像和原象 编辑本段回目录


元素 x∈X在 f 的像 就是 f(x)。

子集 A⊂X 在 f 的像是以其元素的像组成 Y的子集,即

f(A) := {f(x) : x ∈ A}。
注意 f 的值域就是定义域 X 的像 f(X)。在我们的例子里, {2,3} 在 f 的像是 f({2, 3}) = {c, d} 而 f 的值域是 {c, d}。

根据此定义,f 可引申成为由 X 的幂集(由 X 的子集组成的集)到 Y 的幂集之函数,亦记作 f。

子集 B ⊂ Y 在 f 的原像(或逆像)是如下定义 X的子集:

f −1(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。
在我们的例子里,{a, b} 的原像是 f −1({a, b}) = {1}。

根据此定义,f −1 是由 Y 的幂集到 X 的幂集之函数。

以下是 f 及 f −1 的一些特性:

f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).
f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2).
f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2).
f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2).
f(f −1(B)) ⊆ B.
f −1(f(A)) ⊇ A.
这些特性适合定义域的任意子集 A, A1 及 A2 和输出值域的任意子集 B, B1 及 B2,甚至可推广到任意子集群的交集和并集。


函数图像 编辑本段回目录

立方函数的图像函数f 的图像是平面上点对(x,f(x))的集合,其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。

如果X 和Y 都是连续的线,则函数的图像有很直观表示,如右图是立方函数的图像:

注意两个集合X 和Y 的二元关系有两个定义:一是三元组(X,Y,G),其中G 是关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数 f 等于其图象。

函数范例 编辑本段回目录

首都之于国家(若不把多首都国[1]计算在内)。
每个自然数 n 的平方 n² 是n 的函数。
对数函数。 ln x 是正实数 x 的函数。注意,在 x 为负实数时没有定义 ln x。
对每个在 平面上的点,其和原点 (0, 0) 的距离是确定的。
常用的数学函数包括多项式函数、根式函数、幂函数、对数函数、有理函数、三角函数、反三角函数等。它们都是初等函数。非初等函数(或特殊函数)包括 伽傌函数Bessel函数等。


函数的特性 编辑本段回目录

函数可分为

奇函数或偶函数
连续函数或不连续函数
实函数或虚函数
标量函数或向量函数 

歧义函数 编辑本段回目录

歧义函数指可于一条数学等式中找到不少于一个正确答案。例如,4的平方根可以是2或者-2而两者的平方皆是4。

严格来说,歧义函数不完全算是函数,因为数学函数的定义对于一个输入值只能有唯一一个输出值。实际上,这样的“函数”通常被称为关系式。

大陆的名称叫多值函数


n-元函数: 多元函数 编辑本段回目录

n-元函数是指输入值为 n-元组的函数。或者说,若一函数的输入值域为 n 个集合的积集的子集,这函数就是 n-元函数。例如, 距离函数 dist((x,y)) 是一个二元函数,输入值是由两个点组成的序对。另外,多复变函数(即输入值为复数的多元组)是一个重要的数学课题。

在抽象代数中, 算子其实都是函数,如乘法 "*" 是个二元函数:我们写 x*y 其实是 *(x,y)的中缀表达法。

函数式程序设计是一个以函数概念为中心的重要理论范例,其中的运算对象为多元函数,基本语法基于λ演算,而函数的复合(见下)则采用代换来完成。特别地,通过一种称为Currying的变换,可将多元函数变换为一元函数。


三角函数编辑本段回目录

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。

 它有六种基本函数:

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

符号 sin cos tan cot sec csc

正弦函数 sin(A)=a/h

余弦函数 cos(A)=b/h

正切函数 tan(A)=a/b

余切函数 cot(A)=b/a

在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。

二次函数编辑本段回目录


I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和     B(x2,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a   k=(4ac-b²)/4a   x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,
可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ]。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b²-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax²+bx+c=0
此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

一次函数编辑本段回目录


I、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
                      y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
则称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。

II、一次函数的性质:
y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即                     △y/△x=k

III、一次函数的图象及性质:
1.        作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。
2.        性质:在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
3.        k,b与函数图象所在象限。
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。

IV、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。

V、一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

反比例函数编辑本段回目录

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的图像为双曲线。

如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
三角函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。

在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思。

简而言之,函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系,或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性,即同一输入总是对应同一输出(注意,反之未必成立)。从这种视角,可以将函数看作“机器”或者“黑盒”,它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数,将输出值称作函数的值。

最常见的函数的参数和函数值都是数,其对应关系用函数式表示,函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。如下例,
f(x) = x2 ,x 的平方即是函数值。
也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如:
g(x,y) = xy 有两个参量x和y,以乘积xy为值。与前面不同,这一“法则”与两个输入相关。其实,可以将这两个输入看作一个有序对(x, y),记g为以这个有序对(x, y)作参数的函数,这个函数的值是xy。
科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数。例如地球上不同时刻温度的分布,这一函数以地点和时间为参量,以某一地点、某一时刻的温度作为输出。
函数的概念并不局限于数的计算,甚至也不局限于计算。函数的数学概念更为宽泛,而且不仅仅包括数之间的映射关系。函数将“定义域”(输入集)与“对映域”(可能输出集)联系起来,使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素。函数,如下文所述,被抽象定义为确定的数学关系。由于函数定义的一般性,函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的。

复合函数编辑本段回目录

有3个变量,y是u的函数,y=ψ(u),u是x的函数,u=f(x),往往能形成链:y通过中间变量u构成了x的函数:

x→u→y,这要看定义域:设ψ的定义域为U 。 f的值域为U,当U*ÍU时,称f与ψ 构成一个复合函数 , 例如 y=lgsinx,x∈(0,π)。此时sinx>0 ,lgsinx有意义 。但如若规定x∈(-π,0),此时sinx<0 ,lgsinx无意义 ,就成不了复合函数。

反函数编辑本段回目录

就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y=f(x)为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x=f -1(y)。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y=f -1(x) ,例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中,y=f(x)与y=f -1(x)的图形关于直线y=x对称。

隐函数编辑本段回目录


若能由函数方程 F(x,y)=0 确定y为x的函数y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就称y是x的隐函数。   

多元函数编辑本段回目录

设点(x1,x2,…,xn) ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点(x1,x2,…,xn)∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应:f:G→U,u=f(x1,x2,…,xn),则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域。

基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

①幂函数:y=xμ(μ≠0,μ为任意实数)定义域:μ为正整数时为(-∞,+∞),μ为负整数时是(-∞,0)∪(0,+∞);μ=(α为整数),当α是奇数时为( -∞,+∞),当α是偶数时为(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论。

②指数函数:y=ax(a>0 ,a≠1),定义成为( -∞,+∞),值域为(0 ,+∞),a>0 时是严格单调增加的函数( 即当x2>x1时,) ,0<a<1 时是严格单减函数。对任何a,图像均过点(0,1),注意y=ax和y=()x的图形关于y轴对称。

③对数函数:y=logax(a>0), 称a为底 , 定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞) 。a>1 时是严格单调增加的,0<a<1时是严格单减的。不论a为何值,对数函数的图形均过点(1,0),对数函数与指数函数互为反函数 。以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx。

④三角函数。 正弦函数余弦函数

⑤反三角函数:双曲正、余弦

⑥双曲函数:双曲正弦(ex-e-x),双曲余弦(ex+e-x),双曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x) ,双曲余切( ex+e-x)/(ex-e-x)。

数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素(这只是一元函数f(x)=y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢)。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

幂函数编辑本段回目录

1、函数y=xa 叫做幂函数,其中x是自变量,指数a为常量,它可以是任意实数。
2、幂函数的性质:
由其定义域所出现的特征我们知道,幂函数y=xa的图像和性质与指数a有密切的关系,a>0时,幂函数情形

函数a>0

由上图可以看出这四个函数有下列性质:
(1)图像都通过原点和(1,1)点
(2)在区间(0,+  )内,曲线从左到右逐渐上升,即函数Y的值随X仁政的增大而增大,这时,我们称函数在区间(0,+  )内单调增加。
(3)Y=X和Y=X3 的图像关于坐档原点对称;   Y=X2的图像关于Y轴对称, 的图像既不关于原点对称,也不关于Y轴对称。
总结:由以上特征可知当a>0时,幂函数y=xa 具有下列性质。
①图像都过原点和点(1,1)
②函数y在区间(0,+ )内的值随x值的增大而增大(单调递增)。
注:我们把图像关于原点对称的函数称为奇函数;图像关于Y轴以称的函数称为偶函数,图像既不关于原点对称,又不关于Y轴对称的函数称为非奇非偶函数。
2)当a<0时,幂函数情形
函数a<0

 
由图可以看出这三个函数有以下性质:
(1)图像都过点(1,1)
(2)在区间(0,+ )内,曲线从左到右逐渐下降,即函数值随X值的增大而减小,这时我们称函数在区间(0,+ )内单调减小。
(3) 的图像关于原点对称, 的图像关于Y轴对称,  的图像既不对称于原点,也不对称于Y轴。
总结:由以上特征可知当a<0时幂函数 具有下列性质。
① 图像都通过(1,1)点
② 函数在区间(0,+ )内的值随X值的增大而减小(单调递减)。

高斯函数编辑本段回目录

  设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯(Guass)函数,也叫取整函数。
     任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + (0≤<1)

函数关系编辑本段回目录

函数关系是满足一定条件的一种关系。
现在用集合的语言给出函数关系的定义:
若D是一个非空实数集合,设有一个对应规则f,使每一个x∈D,都有一个确定的实数y与之对应,则称这个对应规则f为定义在D上的一个函数关系,或称变量y变量x的函数。记作y=f(x),x∈D。
X称为自变量,y称为因变量。
集合D称为函数的定义域,也可以记作D(f)。
对于x0∈D(f)所对应的y值,记作y0或f(x0)或y∣x=x0,称为当x=x0时函数y=f(x)的函数值。
全体函数值的集合{y∣y=f(x),x∈D(f)},称为函数y=f(x)的值域,记作Z或Z(f)。
函数f(x)中的f反映自变量与因变量的对应规则。对应规则也常常用φ,h,g,F等表示,那么函数也就记作φ(x),h(x),g(x),F(x)等。有时为简化符号,函数关系也可记作y=y(x),此时等号左边的y表示函数值,右边的y表示对应规则。
在平面直角坐标系中,取自变量在横轴上变化,因变量在纵轴上变化,则平面点集{(x,y)∣y=f(x),x∈D(f)}即为定义在D(f)上的函数y=f(x)的图形

函数的性质编辑本段回目录

函数的单调性
1、A为函数f(x)定义域内某一区间,

函数函数


 

2、单调性的判定:作差f(x1)-f(x2)判定;根据函数图象判定;
3、复合函数的单调性的判定:f(x),g(x) 同增、同减,f(g(x)) 为增函数,f(x),g(x)一增、一减,f(g(x)) 为减函数。
函数的奇偶性
1、 函数f(x)的定义域为D,x∈D ,f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数;f(-x)=-f(x)→是奇函数。
2、 奇偶性的判定:作和差f(-x)± f(x)=0 判定;作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定
3、 奇、偶函数的必要条件是:函数的定义域关于原点对称;
4、 函数的图象关于原点对称    奇函数;
    函数的图象关y轴对称    偶函数
5、 函数既为奇函数又为偶函数   f(x)=0,且定义域关于原点对称;
6、 复合函数的奇偶性:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。
函数的周期性
1、设函数y=f(x)的定义域为D,x∈D,存在非0常数T,有f(x+T)=f(x)    →
   f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期;
2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2π,函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T = 2π/|ω| ;
3、 正切、余切函数的最小正周期为π,函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω| ;
4、 周期的求法:定义域法;公式法;最小公倍数法;利用函数的图象法;
5、 一般地,sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半,tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变。如:y=|cos2x| 的周期是π/2 ,y=|cotx|的周期是π。

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