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完美数

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稀少而有趣的完美数编辑本段回目录


已知自然数a和b,如果b能够整除a,就说b是a的一个因数,也称为约数。显然,任何自然数a,总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数

例如6,12,14这三个数的所有真因数:

6 :1,2,3;      1+2+3=6          6 = 6

12:1,2,3,4,6;1+2+3+4+6=16     16>12

14:1,2,7;      1+2+7=10         10<14

像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数(不足数);大于真因数之和的(如14)叫做盈数或过剩数;恰好相等的(如6)叫做完全数,也称为完美数。

古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年,尼可马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》,其中写道:“也许是这样:正如美的、卓越的东西是罕有的,是容易计数的,而丑的、坏的东西却滋蔓不已;所以盈数和亏数非常之多,而且紊乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完美数则易于计数,而且又顺理成章……,它们具有一致的特性:尾数都是,而且永远是偶数。”

现在数学家已发现,完全数非常稀少,至今人们只发现47个,而且都是偶完美数。前5个完美数分别是:6,28,496,8128,33550336。

经过不少科学家的研究,现在已经发现,假如数(2^n-1)是素数,那么数( 2^(n-1)×(2^(n-1)) )就一定是完全数,其中的n也同样是素数。为此,数学家就用英文prime(素数)的第一个字母p代替n,还把形如 (2^p -1)的素数叫“梅森素数”。但是对于下面两个问题:“偶完全数的个数是不是有限的?”“有没有奇完全数?”数学家到现在还没有解决。

完美数有趣的性质编辑本段回目录



1.它们都能写成连续自然数之和:

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

8128=1+2+3+4……+127

2.它们的全部因数的倒数之和都是2。

1/1+1/2+1/3+1/6=2 ,

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 ,

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2 .

●锃亮的更新:目前共发现37个完美数。

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