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托勒密定理

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简介编辑本段回目录

托勒密定理托勒密定理
托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

逆定理编辑本段回目录


托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆

定理的提出 编辑本段回目录

  一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
定理的内容
  托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
  原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
  从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

证明 编辑本段回目录


  一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)
  在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
  因为△ABE∽△ACD
  所以 BE/CD=AB/AC,即BE•AC=AB•CD (1)
  又有比例式AB/AC=AE/AD
  而∠BAC=∠DAE
  所以△ABC∽△AED相似.
  BC/ED=AC/AD即ED•AC=BC•AD (2)
  (1)+(2),得
  AC(BE+ED)=AB•CD+AD•BC
  又因为BE+ED≥BD
  (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)
  所以命题得证
  

复数证明


  用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
  二、
  设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK•BD = AB•CD,且CK•BD = BC•DA; 两式相加,得(AK+CK)•BD = AB•CD + BC•DA; 但AK+CK = AC,因此AC•BD = AB•CD + BC•DA。证毕。
 

其它证明


  已知:圆内接四边形ABCD,求证:AC•BD=AB•CD+AD•BC.
  证明:如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC•BP=AD•BC ①。又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC•DP=AB•CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB•CD+AD•BC.即AC•BD=AB•CD+AD•BC.
  

推论 编辑本段回目录


  1.任意凸四边形ABCD,必有AC•BD≤AB•CD+AD•BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
  2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形外接于一圆、

推广 编辑本段回目录


  托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。
  简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,
  得不等式AC•BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB•CD+BC•AD

注意 编辑本段回目录


  1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。
  2.四点不限于同一平面。
  欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD•BC+AB•CD=AC•BD

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