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数学

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简介编辑本段回目录

数学数学相关书籍

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说,是研究数和形的科学。由于生活劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数。基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始,其发展便持续不断地有小幅的进展,直至16世纪的文艺复兴时期,因著和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速,直至今日。[1]

数学被使用在世界上不同的领域上,包括科学工程医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学,有时亦会激起新的数学发现,并导致全新学科的发展。数学家亦研究没有任何实际应用价值的纯数学,即使其应用常会在之后被发现。

创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为:数学,至少纯粹数学,是研究抽象结构的理论。结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为,有三种基本的抽象结构:代数结构(群,环,域……),序结构(偏序,全序……),拓扑结构(邻域,极限,连通性,维数……)。

数学就是一种变换,一个抽象模型,一个符号系统, 现实世界转换成数学模型,用数学语言描述出来之后, 经过运算,结果能够重新返回,解释成现实世界中具体的科学。

词源编辑本段回目录

数学(mathematics;希腊语:μαθηματικ?)这一词在西方源自于古希腊语的μ?θημα(máthēma),其有学习、学问、科学,以及另外还有个较狭意且技术性的意义-“数学研究”,即使在其语源内。其形容词μαθηματικ??(mathēmatikós),意义为和学习有关的或用功的,亦会被用来指数学的。其在英语中表面上的复数形式,及在法语中的表面复数形式les mathématiques,可溯至拉丁文的中性复数mathematica,由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικ?(ta mathēmatiká),此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。(拉丁文:Mathemetica)原意是数和数数的技术。中国古代把数学叫算术,又称算学,后来才改为数学。

历史编辑本段回目录

数学数学相关书籍

奇普,印加帝国时所使用的计数工具。数学,起源于人类早期的生产活动,为中国古代六艺之一,亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικ??(mathematikós)意思是“学问的基础”,源于μ?θημα(máthema)(“科学,知识,学问”)。 

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展,或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字,其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。 除了认知到如何去数实际物质的数量,史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量,如时间-日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统,如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。

从历史时代的一开始,数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算,为了了解数字间的关系,为了测量土地,以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

到了16世纪,算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中,微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展,为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

数学从古至今便一直不断地延展,且与科学有丰富的相互作用,并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现,并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说,“存在于数学评论数据库中论文书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份,而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”

中国数学历史编辑本段回目录

数学数学相关书籍

数学古称算学,是中国古代科学中一门重要的学科,根据中国古代数学发展的特点,可以分为五个时期:萌芽;体系的形成;发展;繁荣和中西方数学的融合。

中国古代数学的萌芽
原始公社末期,私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一步的发展,仰韶文化时期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期,已开始用文字符号取代结绳记事了。 西安半坡出土的陶器有用1~8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具。

商代中期,在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法,其中最大的数字为三万;与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦,表示64种事物。 公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。 春秋战国之际,筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用,在数学上亦有相应的提高。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出“矩不方,规不可以为圆”,把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”,“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等命题。 而墨家则认为名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。 墨家不同意“一尺之棰”的命题,提出一个“非半”的命题来进行反驳:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点。 名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

中国古代数学体系的形成
秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期,它的主要标志是算术已成为一个专门的学科,以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结,就其数学成就来说,堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等,水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说,它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

《九章算术》有几个显著的特点:采用按类分章的数学问题集的形式;算式都是从筹算记数法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。 这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期,一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度,以及发展社会生产服务,强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》,排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论,偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法,这与当时社会的发展情况是完全一致的。 《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本,并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过印度阿拉伯传到欧洲,促进了世界数学的发展。

相关人物编辑本段回目录

数学祖冲之求圆周率

中国古代数学家——刘徽
刘徽(生于公元250年左右),三国后期魏国人,是中国古代杰出的数学家,也是中国古典数学理论的奠基者之一。其生卒年月、生平事迹,史书上很少记载。据有限史料推测,他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上,也占有杰出的地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷,方法灵活,既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然地位低下,但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人,而是学而不厌的伟人,他给人们中华民族留下了宝贵的财富。

中国古代数学家——祖冲之
祖冲之(公元429年─公元500年)是中国杰出的数学家,科学家。南北朝时期人,汉族人,字文远。祖冲之在数学上的杰出成就,是关于圆周率的计算秦汉以前,人们以径一周三做为圆周率,这就是古率.后来发现古率误差太大,圆周率应是圆径一而周三有余,不过究竟余多少,意见不一直到三国时期,刘徽提出了计算圆周率的科学方法--割圆术,用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长刘徽计算到圆内接96边形,求得π=3.14,并指出,内接正多边形的边数越多,所求得的π值越精确。祖冲之在前人成就的基础上,经过刻苦钻研,反复演算,求出π在3.1415926与3.1415927之间并得出了π分数形式的近似值,取22/7为约率,取355/133为密率,其中355/133取六位小数是3.141929,它是分子分母在1000以内最接近π值的分数。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果,现在无从考查若设想他按刘徽的割圆术方法去求的话,就要计算到圆内接16,384边形,这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的祖冲之计算得出的密率, 外国数学家获得同样结果,已是一千多年以后的事了为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家建议把π=叫做祖率。

以华人命名的数学成果编辑本段回目录

 
中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法,近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的:   

【李氏恒等式】数学家李善兰在级数求和方面的研究成果,在国际上被命名为“李氏恒等式”。   

【华氏定理】数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”;另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。   

【苏氏锥面】数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。   

【熊氏无穷级】数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”。

【陈示性类】数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。   

【周氏坐标】数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标;另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。   

【吴氏方法】数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”;另外还有以他命名的“吴氏公式”。   

【王氏悖论】数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。   

【柯氏定理】数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”;另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。   

【陈氏定理】数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。   

【杨—张定理】数学家杨乐张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。   

【陆氏猜想】数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。   

【夏氏不等式】数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”。

【姜氏空间】数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”;另外还有以他命名的“姜氏子群”。   

【侯氏定理】数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。   

【周氏猜测】数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。   

【王氏定理】数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。   

【袁氏引理】数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。   

语言编辑本段回目录

数学数学相关书籍

 在现代的符号中,简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即是由一简单方程所产生的。大部份数学符号都是到了16世纪后才被发明出来了。在此之前,数学被以文字书写出来,这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于专家而言更容易去控作,但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩:少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般,现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码[2] 

数学语言亦对初学者而言感到困难。如何使这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼着初学者,如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的:数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。

严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免错误的“定理”,依着不可靠的直观,而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同:希腊人期许着仔细的论点,但在牛顿的时代,所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日,数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计量难以被验证时,其证明亦很难说是有效地严谨。

领域编辑本段回目录

早期的数学完全着重在演算实际运算的需要上,有如反映在中国算盘上的一般。如同上面所述一般,数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连著。除了上述主要的关注之外,亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域:至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。

数与代数,空间与图形,统计与概率,综合实践活动等四大领域

分类编辑本段回目录

数学数学相关书籍

从纵向划分:

1、初等数学和古代数学:这是指17世纪以前的数学。主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学,古代中国古印度古巴比伦时期建立的算术,欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。

2、变量数学:是指17--19世纪初建立与发展起来的数学。从17世纪上半叶开始的变量数学时期,可以分为两个阶段:17世纪的创建阶段(英雄时代)与18世纪的发展阶段(创造时代)。

3、近代数学:是指19世纪的数学。近代数学时期的19世纪是数学的全面发展与成熟阶段,数学的面貌发生了深刻的变化,数学的绝大部分分支在这一时期都已经形成,整个数学呈现现出全面繁荣的景象。

4、现代数学:是指20世纪的数学。1900年德国著名数学家希尔伯特(D. Hilbert)在世界数学家大会上发表了一个著名演讲,提出了23个预测和知道今后数学发展的数学问题(见下),拉开了20世纪现代数学的序幕。

从横向划分:
1、基础数学(英文:Pure Mathematics)。又称为理论数学或纯粹数学,是数学的核心部分,包含代数、几何、分析三大分支,分别研究数、形和数形关系。
2、应用数学。简单地说,也即数学的应用。
3、计算数学。研究诸如计算方法(数值分析)、数理逻辑、符号数学、计算复杂性、程序设计等方面的问题。该学科与计算机密切相关。
4、概率统计。分概率论与数理统计两大块。5、运筹学与控制论。运筹学是利用数学方法,在建立模型的基础上,解决有关人力、物资、金钱等的复杂系统的运行、组织、管理等方面所出现的问题的一门学科。

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